唐保东

(南京市雨花台中学 江苏 南京 210012)

在今年2月份南京和盐城两市高三联合一模考试中，有这样一道试题：

【试题】如图1(a)所示，O点为单摆的固定悬点，t=0时刻摆球从A点开始释放，摆球将在竖直面内的AC之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置，用力的传感器测得细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的曲线如图1(b)所示，Fm,Fn,t0均已知，重力加速度为g，求：

图1 试题题图

(1)单摆的摆长L；

(2)摆球的质量m.

这是一道比较常规的单摆运动规律与力学相结合的题目，题干呈现的图像看起来很像y=|cosx|+k的函数图像，并且在nt0时刻突变，这与我们常见的单摆拉力随时间变化图像似乎有点不一样[1,2]，到底哪个图像才是正确的呢？

首先,我们可以运用数学手段来证明，如图2所示，设A点细线偏角为θ0(即此单摆的最大摆角).

图2 单摆受力分析

可知t时刻小球运动到P点时瞬时偏角

θ=θ0cosωt

(1)

解得

(2)

故小球位于P点时细线拉力

(3)

将式(1)代入式(3)，可得

F=3mgcos (θ0cosωt)-2mgcosθ0

这个函数的图像是怎样的呢？我们可以赋予一定的值，例如假定L=1 m,g=10 m/s2,θ=5°,m=0.1 kg.利用GeoGebra软件绘图，设置横纵坐标为10∶1，可得图像如图3所示.

图3 细绳拉力随时间变化图像

对比可见，图3与题目所给图像相差较大，为慎重起见，我们进一步思考：对函数

F=3mgcos(θ0cosωt)-2mgcosθ0

求导可得

F′=3mgωθ0sinωtsin(θ0cosωt)

图4 导函数随时间变化图像

根据之前求解的结论，单摆拉力

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

其随摆角变化的图像是余弦函数与一项定值之差决定的，而θ=θ0cosωt，t=0时，θ=θ0，F=Fn=mgcosθ0为最小值，以后随时间周期性变化,正确的图像应该如图5所示.

图5 拉力随时间变化正确图像

我们还可以用高等代数来证明单摆的周期公式及绳拉力随时间变化的图像.

单摆切向受力情况为-mgsinθ=ma,其中a为切向加速度，左边取负号是考虑到回复力的方向与速度度方向总是相反.再根据切向加速度和角加速度的关系a=αr可得

进一步整理该式可得

(1)

如何处理这个式子呢？有两个方法：

(1)根据泰勒展开式

当θ很小时sinθ≈θ，此时式(1)可变形为

(2)

这是一个二阶常系数齐次微分方程，形如

y″+py′+qy=0

存在通用解法，其特征方程为

解得

对照复数

Z=α+βi

可知

式(2)的通解为

y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

即

(2)利用微分换元法则

故式(1)可变形为

两边同时取积分

可得

再整理可得

(3)

这时可换一个方法求解单摆摆动过程中细线拉力

F=mgcosθ+mω2l=mgcosθ+m(θ′)2l

(4)

将式(3)代入式(4)同样可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

这里很多知识显然已经超出了高考的要求，但是作为物理教师把这些问题思考清楚还是十分必要的，一来教学上必须以己昭昭方可使人昭昭，二来在出试卷时避免出现一些科学性错误.

物理通报2021年12期